data: 2023-09-26
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Logica formale
tipologia: sommarioLogica formale - Sommario
Richiami di logica formale, focus sulle proposizioni, sui connettivi e sulle congiunzioni. Sommario integrato con appunti sui predicati, quantificatori. Appunti presi tra il 25-26/09
La logica formale matematica è la branca della matematica che permette di dare un linguaggio rigoroso e formale alla nostra materia: essa è utile per evitare ambiguità e darci, appunto, un linguaggio chiaro e definito.
data: 2023-09-25
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Proposizione
tipologia: appuntiBreve descrizione di cos'è una proposizione...
Una proposizione è una parte del discorso, ovvero un'affermazione, a cui si associa un valore di verità o falsità
ESEMPI
data: 2023-09-25
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Connettivi
tipologia: appuntiConnettivi: cosa sono, quali useremo...
Il connettivo, nella logica formale, viene usato per comporre una nuova ProposizioniProposizioni partendo da quelle già esistenti.
Un connettivo viene caratterizzato da una tabella di verità, che descrive ogni valore di ogni proposizione.
Studieremo i seguenti connettivi: la ^negazioneNegazione, la ^congiunzioneCongiunzione, la ^disgiunzioneDisgiunzione, l'^implicazione^implicazione e la ^doppiaimplicazione^doppiaimplicazione
^negazione
La negazione è l'unico connettivo unario (che prende SOLO una proposizione) di cui studieremo.
Viene indicata con
La sua tavola della verità è la seguente:
^congiunzione
La congiunzione tra due proposizioni viene indicata con
La tavola della verità associata è la seguente:
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
^disgiunzione
La disgiunzione di due proposizioni viene indicata con
Nella matematica si preferisce usare
La tavola della verità di
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Quando due tabelle della verità, associate ad una proposizione l'una, danno gli stessi valori della verità, si dice che queste proposizioni sono equivalenti.
ESEMPIO 1. Ricavare le tavole della verità di
Si ricava la tavola della prima proposizione, ovvero
| V | V | V | F |
| V | F | F | V |
| F | V | F | V |
| F | F | F | V |
Ora l'altra tavola. (
| V | V | F | F | F |
| V | F | F | V | V |
| F | V | V | F | V |
| F | F | V | V | V |
Si nota che
Lo stesso discorso vale per
data: 2023-09-25
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Tautologia
tipologia: appuntiTautologia: cos'è, alcuni esempi. Dimostrazione-esempio di una delle tautologie
Una tautologia è una proposizione composta che è sempre vera, indipendentemente dai valori delle proposizioni.
Eccovi alcuni esempi.
DIMOSTRAZIONE (EX. 5)
data: 2023-09-26
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Predicati
tipologia: appuntiDefinizione generale dei predicati corredata con degli esempi, breve focus sui quantificatori, negazione dei predicati con quantificatori
DEF 1. Si definisce il predicato come la parte del linguaggio che contiene delle variabili. Esempi di seguito per illustrare il concetto del predicato.
ES 1. Sia definisce il predicato
Se
In questo caso si ha un predicato unario, nel senso che accetta solo una variabile, ovvero
ES 2. Sia
Se
In questo caso si ha un predicato binario; continuando così si può definire anche dei predicati
ES 3. Sia
DEF 2. Si definisce il quantificatore come l'espressione che, nel nostro linguaggio, corrisponde a "esiste" oppure "tutti".
Essi sono i seguenti.
OSSERVAZIONE 1. Un modo per trasformare i predicati in una ProposizioneProposizione è di utilizzare i quantificatori appena definiti.
ES. 1.1.
Si nota che, mediante il quantificatore, il predicato
Ora si può comporre frasi come la seguente.
ES 1.2. Per comporre la frase "In ogni ospedale c'è un medico che ha sbagliato tutte le diagnosi" si usa la seguente:
OSSERVAZIONE 1. Si prende in esame il seguente.
Pensando col procedimento linguistico, la negazionenegazione di questa frase verrebbe come "Esiste almeno un studente meno alto o uguale a 1,7m".
Pertanto,
Analogamente, lo stesso discorso vale per
ES 1. Riprendendo l'esempio 2 da Definizioni generaliDefinizioni generali, se si vuole dire che "Non è vero che esiste una studentessa che è amica di tutti", si esegue così: